Cinematica

3. CINEMATICA: Movimiento de los Cuerpos

3.1. Distancia y rapidez

Objetivos:
a) Definir distancia y calcular rapidez
b) Comprender que es una cantidad escalar

DISTANCIA
En nuestro entorno vemos muchos casos de movimiento. Pero, Que es movimiento?
Esta pregunta parece sencilla; sin embargo, el lector podria tener problemas para dar una respuesta inmediata (y no se vale usar formas del verbo mover para describir el movimiento). Despues de reflexionarlo un poco, seguramente usted lleghara a la conclusion de que el movimiento o moverse implica un cambio de posicion. El movimiento puede describirse en parte especificando que tan lejos viaja algo al cambiar de posicion; es decir, que distancia recorre. Distancia es simplemente la longitud total del trayecto recorrido al moverse de un lugar a otro. Por ejemplo, el lector podria viajar en automovil de su ciudad natal a la universidad y expresar la distancia recorrida en kilometros o millas. En general la distancia entre dos puntos depende del camino seguido.

Igual que muchas otras cantidades en fisica, la distancia es una cantidad escalar, que es una cantidad que solo tiene magnitud o tamaño. Es decir, un escalar solo tiene un valor numerico, como 160 km o 100 mi. (cabe señalar que la magnitud incluye unidades). La distancia unicamente nos indica la magnitud: que tan lejos, pero no se que tan lejos de una direccion. Otros ejemplos de escalares son cantidades como 10s (tiempo), 3.0 kg (masa), y 20°C (temperatura). Algunos escalares tienen valores negativos, como -10°F .

RAPIDEZ
Cuando algo se mueve, su posicion cambia con el tiempo. Es decir, el objeto se mueve cierta distancia en cierto tiempo. Por consiguiente, tanto la longitud como el tiempo son cantidades importantes para describir el movimiento. Por ejemplo, imaginemos un automovil y un peaton que van por una calle y recorren la distancia (Longitud) de una cuadra. Es de esperar que el automovil viaje con mayor rapidez, y cubra la misma distancia en menos tiempo, que la persona. Esta relacion longitud-tiempo puede expresarse utilizando la razon a la cual recorre la distancia, es decir, la rapidez.
Rapidez media ($S$)

rapidez media= (distancia recorrida) / (tiempo total para recorrerla)

s= (d) /(∆t) = (d) /(t2) - (t1)

Unidad SI de rapidez: metros por segundo (m/s)

Se usa la letra griega ∆ para representar un cambio o deiferencia en una cantidad; en este caso, la diferencia de tiempo entre el inicio (t1) y el final (t2) de un viaje, o el tiempo transcurrido.
La unidad estandar de rapidez en el SI es metros por segundo (m/s, longitud/tiempo), aunque en muchas aplicaciones cotidianas se usa kilometros por hora (k/m). La unidad inglesa estandar es pies por segundo (ft/s), pero con frecuencia tambien se usa millas por hora (mi/h). A menudo el tiempo inicial que se toma es cero, t1 =0, como cuando de reseta un cronometro, de manera que la ecuacion queda s=d/t, donde se entiende que t es el tiempo total.
Puesta que la distancia es un escalar (igual que el tiempo), la rapidez tambien es un escala. La distancia no tiene que ser en linea recta.

3.2. Movimiento uniforme rectilíneo MUR

MOVIMIENTO UNIFORME RECTILINEO M.U.R.
Objetivo: Modelo matemáticamente el movimiento de objetos cotidianos que exhiben un comportamiento de MUR

mur.GIF

1.Un atleta se mueve sobre una pista recta de 100 m en 10 segundos. Calcular su velocidad en m/s, cm/s y ft/s.

2.Un ciclista se mueve con MUR a razón de 5 m/s. Qué distancia podrá recorrer en un cuarto de hora?
Rta: 4.5 Km

3.El sonido se propaga en el aire con una velocidad de 340m/s.
¿Qué tiempo tardará en escucharse el estampido de un cañón situado a 17Km?
R: 50 s

4.Un trueno se ha oído 50 segundos después de verse el relámpago. Teniendo en cuenta la velocidad del sonido, ¿a qué distancia ha caído el rayo?
R: 17000m

5.Una mesa de billar tiene 2.5 m de largo ¿Qué velocidad debe imprimirse a una bola en un extremo para que vaya hasta el otro y regrese en 10 segundos?
R: 50 cm/s

6.La velocidad de la luz es de 300 000km/s. Calcular el tiempo empleado por un rayo luminoso en recorrer el ecuador terrestre cuya longitud es de 40 000 000m.
R: 0,13s

7.Calcular el tiempo empleado por un cuerpo para recorrer una distancia de 12 ft con una velocidad de 3ft/s.
R: 4s

8.Un cuerpo se mueve con una velocidad de 12 Km/min. Calcular la distancia que recorre en 4 segundos.
R: 800m

9.Dos trenes parten de una estación, uno a 60 km/h y el segundo a 80 km/h. ¿A que distancia se encontrará el uno del otro al cabo de 50 minutos,
a) si viajan en el mismo sentido, b) si marchan en sentido contrario.
R: a)16.66 km b) 116.66 km

10.Dos trenes parten de 2 ciudades A y B distantes entre sí 400 km con velocidades de 70 km/h y 100 km/h, pero el de A sale 2 horas antes. ¿Cuándo se encontrarán y a que distancia de la ciudad A,
a) Si ambos se mueven uno hacia el otro,
b) si ambos se mueven en sentido de B hacia A?
R: a) 1h; 32 m; 247,1 km b) 18h; 1400 km

3.3. Movimiento uniforme acelerado MUA

MOVIMIENTO UNIFORME ACELERADO

Objetivo: Establecer relaciones entre movimiento rectilíneo uniforme y movimiento rectilíneo acelerado
MARCO TEORICO

Debido a que los objetos en movimiento pueden aumentar su velocidad o disminuirla, es posible afirmar que en la mayoría de movimientos la velocidad no permanece constante. Estos cambios de velocidad se describen mediante la magnitud denominada aceleración.

ACELERACION: Es el vector que determina la variación de velocidad que experimenta un móvil en la unidad de tiempo
$(a ) ⃗ = v/t (1ª)$ $(a ) ⃗ = x/t^2 (1b)$

Al calcular el cociente entre el cambio de velocidad y el intervalo de tiempo necesario para que se produzca, se obtiene la aceleración media

a= ∆v/∆t = (V2 – V1) / (t2 – t1)

En el movimiento uniformemente variado, ó acelerado, un cuerpo describe una trayectoria recta y, a la vez, su aceleración es constante y no nula. Las ecuaciones que describen éste fenómeno vienen dadas por

v= Vo ± at

X= Vot ± (at2) / (2)

Las unidades de la aceleración son (m/s2) en el sistema internacional y (cm/s2) en el sistema CGS.
Ejemplos:

1.Una motocicleta parte de la línea de salida y aumenta repentinamente su velocidad a 72 km/h en 20 s. Determinar su aceleración media.
Realice un gráfico de velocidad en función del tiempo (V→ f (t) )

2.Dos móviles parten de un mismo punto A en forma simultánea con velocidades de 6 m/s y 7 m/s , hacia un punto B.

a) Uno llega 10 minutos antes que el otro. Halla la distancia entre A y B.
b) ¿Qué aceleración necesita el primer móvil para que, al cabo de los mismos 20 segundos, alcance al otro móvil?

Ejercicios:

1.¿Cuál es la rapidez de un cuerpo después de 2,5 segundos si:
a) acelera uniformemente a 3 m/s2 y
b) desacelera uniformemente a 1 m/s2 ?
Exprese su respuesta en sistemas de medida MKS, CGS e inglés

2.Los atletas A y B parten de la línea de salida en forma simultánea y en 5 segundos alcanzan velocidades de 6 m/s y 7 m/s.
Halla la distancia recorrida por cada atleta y exprésala en sistema MKS, CGS e inglés.

3.Determinar la aceleración de un automóvil inicialmente en reposo y que en 50 s alcanza una rapidez de 72 km/h y exprésala en sistema MKS, CGS e inglés..

4.Determinar la aceleración de un automóvil que, inicialmente, se mueve a 72 km/h y que se detiene en 5 s. Realice un gráfico de velocidad en función del tiempo (V→ f (t) )

5.Un tren viaja a una velocidad de 85 km/h.EL maquinista divisa a una distancia de 1 km un derrumbe sobre la vía, por lo cual debe disminuir su velocidad a cero km/h en 20 s.

a) Calcula la desaceleración que el tren para detenerse.
b) Haz un gráfico de la velocidad en función del tiempo

6.Un automóvil parte desde el reposo y acelera a razón de 3 m/s2 durante 10 segundos, luego, avanza con velocidad constante durante 20 segundos y, finalmente, desacelera a razón de 5 m/s2 hasta detenerse

a) ¿Cuál es la distancia total recorrida?
b) Haz un gráfico de posición en función del tiempo.
c) Haz un gráfico de la velocidad en función del tiempo

7.Un auto viaja a 60 km/h y se detiene a los 2 segundos
.
a) ¿Qué distancia recorrió en el frenado?
b) ¿Qué aceleración adquirió?
c) ¿Por qué el signo de la aceleración es negativo?

3.4. Caída libre y 3.5. Movimiento vertical hacia arriba

Objetivo: Establecer relación entre movimientos que ocurren sobre el eje horizontal y los que ocurren en el eje vertical.

La caída libre es un caso particular del movimiento uniforme acelerado MUA, que depende de la atracción que los planetas o cuerpos celestes realizan sobre objetos que se mueven a su alrededor. En este caso la aceleración recibe el nombre de “aceleración de la gravedad” y se representa mediante la letra minúscula “g”, y su valor es constante.

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Ecuaciones de movimiento:

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Si el cuerpo se mueve en caída libre el signo de la gravedad es positivo, puesto que el movimiento es acelerado. Si el cuerpo se mueve con movimiento vertical hacia arriba el signo de la gravedad es negativo, puesto que el movimiento es desacelerado.

Ejemplos:

1.Un objeto se deja caer desde una altura de 12m. Determinar: a) El tiempo que tarda en caer el objeto, b) La velocidad antes de tocar el suelo.

2.Una persona arroja una pelota hacia arriba, con una velocidad inicial de 15 m/s. Determina: a) El tiempo en el cual el objeto alcanza el punto más alto de la trayectoria,
b) La altura máxima, c) Las gráficas xt, vt, at.

Ejercicios:

I. Razona y explica:

1.El lanzamiento en paracaídas se podría considerar como un movimiento en caída libre? Justifica tu respuesta.
2.¿En un lugar donde hay vacío los objetos caen o flotan? Justifica tu respuesta.
3.En una competencia de clavados ¿Hasta qué punto se considera la caída libre del competidor: al llegar al fondo de la piscina o en el instante del ingreso al agua?

II.Problemas

1.Se deja caer una piedra desde una altura de 50 m ¿Cuánto tiempo tarda en llegar al suelo?
2.Si al dejar caer una piedra desde un edificio, tarda 10 segundos en llegar al suelo, ¿Desde qué altura se soltó? ¿Cuál es la velocidad del objeto en el momento del impacto con el suelo?
3.El techo de un salón está a 3.75m del piso. Un estudiante lanza un balón verticalmente hacia arriba, estando la mano a 50 cm del piso. ¿Con qué velocidad debe lanzar el estudiante la pelota para que no toque el techo?
4.Una persona que se encuentra en lo alto de un edificio lanza una pelota verticalmente hacia abajo con una velocidad de 40 m/s. Si la pelota llega a la base del edificio con a los 15s ¿Cuál es la altura del edificio?

3.6. Movimiento de proyectiles

MOVIMIENTO SEMIPARABOLICO
Objetivo: Comprender el movimiento de los proyectiles y su relación con el entorno

Los movimientos semiparabólico y parabólico son casos de movimientos en 2 dimensiones que unen los conceptos de MUR, caída libre y movimiento vertical hacia arriba. Las ecuaciones vistas son válidas en estos movimientos.

Ejemplo:
Un bombardero que vuela horizontalmente con una velocidad de 300 ft/s, deja caer una bomba desde una altura de 6400 ft.
a) ¿Cuánto tarda en llegar a la tierra? b) ¿qué distancia horizontal avanza la bomba?

Ejercicios

1.Romeo lanza un regalo a Julieta que está en la ventana y quiere que llegue a las manos de su amada, sin componentes verticales. Él está parado en un jardín a 4,5 m por debajo de las manos de Julieta y a 5 metros de distancia medida desde la base de la pared. ¿Cuál es la rapidez horizontal del regalo cuando llega a las manos de Julieta?
2.Una bola se lanza horizontalmente desde el techo de un edificio de 45 metros de alto y toca el suelo a 24m de la base. ¿Cuál fue la rapidez inicial de la bola?
3.Un cazador apunto horizontalmente a un blanco que se encuentra a 75 m de distancia. Si la bala sale del arma con una rapidez de 180 m/s, a cuanta distancia falló su tiro del blanco?
4.El piloto de un avión que viaja a 180 km/h quiere soltar provisiones a las víctimas de una inundación que se encuentran aisladas en un terreno localizado 160 m por debajo del avión. ¿Cuántos segundos antes de que el avión esté justo sobre las víctimas debe soltarse las provisiones?

MOVIMIENTO PARABOLICO

Al igual que en el movimiento semiparabólico, éste movimiento resulta de la composición de dos movimientos, uno vertical y uno horizontal. La gravedad en el movimiento vertical hacia arriba es igual que en la caída libre; al ascender el cuerpo disminuye su velocidad hasta que por un instante, su velocidad vertical es cero en el punto más alto y luego desciende empleando el mismo tiempo que cuando subió.

Las ecuaciones de MUR, movimiento vertical hacia arriba y caída libre son válidas en este movimiento y se adicionan.

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Ejemplo:

El portero de un equipo de futbol dispara un balón con una velocidad de 20m/s siendo el ángulo de inclinación con respecto al piso de 30°. Despreciando los efectos de rozamiento con el viento calcular:
a)El tiempo durante el cual el balón está en el aire
b)El alcance del lanzamiento
c)La altura máxima que alcanza el balón en el trayecto.
d)El módulo de la velocidad con que el balón toca el suelo.

Ejercicios

1.Un futbolista patea un balón estacionario dándole una rapidez de 15m/s con un ángulo de 15o respecto de la horizontal.
a)Calcula la altura máxima que alcanza el balón
b)Calcula el alcance del balón
c)Calcula los numerales anteriores si el ángulo ahora es de 30o, 45o y 60o ¿Para qué ángulo es mayor el desplazamiento horizontal?

2.Una flecha tiene una rapidez de lanzamiento inicial de 18 m/s. Si debe dar en un blanco a 31 m de distancia, que está a la misma altura, ¿Con qué ángulo deberá proyectarse?

3.Un motociclista desea saltar por encima de 10 tracto camiones colocados en forma lateral, donde el ancho de cada vehículo es de 2.5m. Si se ha construido una rampa ascendente de 15o ¿Con qué rapidez mínima debe llegar la motocicleta para alcanzar su objetivo?

4.Una chica que está parada en un puente lanza una piedra con una velocidad inicial de 12m/s en un ángulo de 45o por debajo de la horizontal en un intento por golpear un trozo de madera que flota estático en un estanque. Si la piedra se lanza desde una altura de 20m sobre el rio y llega a este cuando la madera está a 13 metros del puente ¿Golpeará la tabla?

5.Guillermo Tell dispara su flecha hacia una manzana que cuelga de un árbol. La manzana está a una distancia horizontal de 20m y a una altura de 4m sobre el suelo. Si la flecha se suelta desde una altura de 1 m sobre el suelo y golpea la manzana 0.5 segundos después, ¿Qué velocidad inicial tubo la flecha?.

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